Міністерство освіти та науки України
Національний університет “Львівська політехніка”
ЧИСЛОВЕ ОБЧИСЛЕННЯ
ВИЗНАЧЕНИХ ІНТЕГРАЛІВ
Інструкція до лабораторної роботи № 5
з курсу “Комп’ютерні методи дослідження систем керування”
для студентів базового напрямку 6.0914
“Комп’ютеризовані системи, автоматика і управління”
та базового напрямку 050201 “Системна інженерія”
Затверджено
на засіданні кафедри
“Комп’ютеризовані
системи автоматики”
Протокол № __ від __.___.2007
Львів 2007
Числове обчислення визначених інтегралів: Інструкція до лабораторної роботи № 5 з курсу “Комп’ютерні методи дослідження систем керування” для студентів базового напрямку 6.0914 “Комп’ютеризовані системи, автоматика і управління” та базового напрямку 050201 “Системна інженерія” / Укл.: У.Ю. Дзелендзяк, А.Г. Павельчак, В.В. Самотий – Львів: НУЛП, 2007. – 16 с.
Укладачі: У.Ю. Дзелендзяк, к.т.н., доцент
А.Г. Павельчак, асистент
В.В. Самотий, д.т.н., професор
Відповідальний за випуск:
А.Й. Наконечний, д.т.н., професор
Рецензент: З.Р. Мичуда, д.т.н., професор
Мета роботи: вивчити основні методи обчислення визначених інтегралів.
1. Загальні відомості
1.1. Постановка задачі.
Нехай нам необхідно знайти визначений інтеграл
, (1.1)
де функція неперервна на проміжку . Нижню межу інтегрування будемо вважати меншою від верхньої, оскільки випадок зводиться до шляхом переходу до інтегралу з протилежним знаком, а при інтеграл рівний нулю.
З курсу математичного аналізу відомо, що точне значення визначеного інтегралу (1.1) обчислюється за формулою Ньютона-Лейбніца
, (1.2)
де – первісна від функції .
Однак на практиці для більшості задач формула (1.2) не має застосування з таких двох причин:
а) вигляд функції не дає можливості безпосереднього інтегрування, тобто первісну неможливо виразити через елементарні функції (наприклад, , );
б) значення функції для визначеного проміжку задані у вигляді таблиці.
У таких випадках застосовують наближені методи обчислення визначеного інтегралу.
1.2. Аналітичні методи. Ідея аналітичних методів полягає в заміні підінтегральної функції на проміжку певною аналітично заданою функцією , первісна якої знаходиться відносно легко
. (1.3)
Наприклад, якщо можливо розкласти функцію на проміжку в ряд Тейлора чи тригометричний ряд, то в якості можемо взяти часткову суму членів цього ряду. Тоді шуканий інтеграл від цієї функції легко обчислюється, оскільки вона є або многочленом, або лінійною комбінацією функцій та .
Приклад. Обчислимо інтеграл з похибкою .
Розкладемо експоненту в ряд Тейлора:
Виконавши заміну на у цьому ряді, запишемо інтеграл у такому вигляді
1.3. Числові методи. Згідно визначення за Ріманом (1826-1866, знаменитий німецький математик) визначений інтеграл розглядається як границя інтегральної суми, коли відрізок розбиття прямує до нуля
, (1.4)
де , довільна крапка з інтервалу .
У геометричному змісті інтегральна сума Рімана дорівнює площі криволінійної фігури, обмеженої кривою , прямими , та віссю (рис. 1а).
На основі інтегральної суми Рімана (1.4) і будуються основні числові методи обчислення визначеного інтегралу. Забравши у формулі (1.4) знак границі (), отримуємо квадратурну формулу
, (1.5)
де – значення функції у вузлах інтерполяції , – числові коефіцієнти (ваги квадратурної формули), права частина формули (1.5) – квадратурна сума. В залежності від способу її обчислення отримують різні методи числового інтегрування (квадратурні формули) – методи прямокутників, трапецій, парабол, сплайнів та ін.
Якщо на проміжку ввести рівномірну сітку з кроком , тоді площа загальної криволінійної фігури буде дорівнювати сумі площ малих криволінійних фігур з основою (рис. 1б). У геометричному змісті наша задача і полягатиме в наближеному обчисленні цих площ.
2. Метод прямокутників
У цьому найпростішому випадку здійснюємо заміну малих криволінійних фігур звичайними прямокут...